Көлемді есептеу

Сондай-ақ оқыңыз: Үшөлшемді пішіндер

Бұл парақ қатты денелердің көлемін қалай есептеу керектігін, яғни, егер сіз оны сұйықтықпен толтырған болсаңыз, сіз затқа қаншалықты сыя алатыныңызды түсіндіреді.

Аудан - бұл екі өлшемді объектінің ішінде қанша орын бар екенін өлшеу (біздің парақты қараңыз: Есептеу алаңы көбірек).

Көлем - бұл үш өлшемді объектінің ішінде қанша орын бар екенін анықтайтын өлшем. Біздің парақ үш өлшемді фигуралар осындай пішіндердің негіздерін түсіндіреді.



Шынайы әлемде көлемді есептеу сіз есептеу алаңы сияқты жиі қолданылатын нәрсе емес шығар.

Алайда бұл маңызды болуы мүмкін. Көлемді есептей білу сізге, мысалы, үйді көшіру кезінде сізде қанша орам бар екенін, сізге қанша кеңсе қажет екенін немесе банкке қанша кептеліс сыйып кететіндігін анықтауға мүмкіндік береді.

Сондай-ақ, бұл бөгеттің сыйымдылығы немесе өзеннің ағысы туралы айтқан кезде бұқаралық ақпарат құралдарының нені білдіретінін түсіну үшін пайдалы болуы мүмкін.

Көлемді және көлемді есептеу. Аудан квадрат бірлігімен өлшенеді, қанша квадрат жазыққа (екі өлшемді кеңістікке) сәйкес келеді? Көлем текшелермен өлшенеді, қатты (үш өлшемді) затқа қанша текше сыяды?

Бірліктер туралы ескерту

@ белгісі нені білдіреді

Ауданы квадраттық бірліктермен өрнектеледі, өйткені бұл екі өлшем бір-біріне көбейтіледі.

Көлем текше бірлігінде көрсетілген, өйткені бұл үш өлшемнің қосындысы (ұзындығы, ені және тереңдігі) бірге көбейтіледі. Текше бірліктерге см кіреді3, м3және текше фут.

ЕСКЕРТУ!

Көлемді сұйықтық сыйымдылығы ретінде де көрсетуге болады.

Метрикалық жүйе

Метрикалық жүйеде сұйықтық сыйымдылығы литрмен өлшенеді, бұл кубтық өлшеммен тікелей салыстырылады, өйткені 1мл = 1см3. 1 литр = 1000 мл = 1000 см3.

Императорлық / ағылшындық жүйе

Империялық / ағылшындық жүйеде баламалы өлшемдер сұйық унция, пинт, кварц және галлон болып табылады, оларды текше футқа аударуға болмайды. Сондықтан сұйық немесе қатты көлем бірлігіне жабысқан дұрыс.

Қосымша ақпаратты біздің парақтан қараңыз Өлшеу жүйелері


Көлемді есептеудің негізгі формулалары

Тік төртбұрышқа негізделген қатты денелердің көлемі

Ауданы = Ені x Ұзындығы. Көлем = Ені x Ұзындығы x Биіктігі.

Тік бұрышты пішіннің негізгі формуласы - ұзындық × ені, көлемнің негізгі формуласы - ұзындық × ені × биіктігі.

Әр түрлі өлшемдерге сілтеме жасау есептеуді өзгертпейді: мысалы, «биіктік» орнына «тереңдікті» қолдануға болады. Маңыздысы - үш өлшемді бірге көбейту. Сіз кез-келген ретпен көбейте аласыз, өйткені бұл жауап өзгермейді (біздің парақты қараңыз) көбейту көбірек).

Өлшемдері ені 15 см, ұзындығы 25 см және биіктігі 5 см болатын қораптың көлемі:
15 × 25 × 5 = 1875 см3

Призмалар мен цилиндрлердің көлемі

Бұл негізгі формуланы көлемін қамту үшін кеңейтуге болады цилиндрлер және призмалар да. Тік бұрышты ұштың орнына сізде басқа пішін болады: цилиндрлерге арналған шеңбер, үшбұрыш, алтыбұрыш немесе шынымен призма үшін кез келген басқа көпбұрыш.

Тиімді түрде цилиндрлер мен призмалар үшін көлем дегеніміз - бұл пішіннің тереңдігіне немесе биіктігіне көбейтілген бір жақтың ауданы.

Призма мен цилиндр көлемінің негізгі формуласы:

Соңғы пішіннің ауданы × призманың / цилиндрдің биіктігі / тереңдігі.


Конустар мен пирамидалардың көлемі

Конустың немесе пирамиданың көлемін есептеу үшін жоғарыдағыдай (ені × ұзындығы × биіктігі) бірдей принцип қолданылады, тек егер олар нүктеге жетсе, онда олар тек жалпыға пропорция болса, егер олар жалғасатын болса дәл сол пішін.

Конустың немесе пирамиданың көлемі негізі бірдей қорапқа немесе цилиндрге арналған көлемнің үштен біріне тең.

Формула сондықтан:

Табанның ауданы немесе соңғы пішіні × конустың биіктігі ×1/3

Біздің параққа қайта оралыңыз Есептеу алаңы егер сіз шеңбердің немесе үшбұрыштың ауданын қалай есептеу керектігін еске түсіре алмасаңыз.

Мысалы, радиусы 5 см және биіктігі 10 см болатын конустың көлемін есептеу үшін:

Шеңбер ішіндегі аудан = πr2 (мұндағы π (pi) шамамен 3.14, ал r - шеңбердің радиусы).

Бұл мысалда негіздің ауданы (шеңбер) = πrекі= 3,14 × 5 × 5 = 78,5 смекі.

78,5 × 10 = 785

785 × 1/3 = 261,6667 см3

Шардың көлемін есептеңіз. 4/3 x pi x радиусы текшеленген.

Сфераның көлемі

Шеңбер сияқты, сфераның көлемін есептеу үшін π (pi) қажет.

Формула 4/3 × π × радиусқа тең3.

Сіз шардың радиусын қалай өңдей аламын деп ойлануыңыз мүмкін. Тоқыма инесін жабыстырудың қысқа уақыты (тиімді, бірақ допқа арналған терминал!), Қарапайым тәсілі бар.

Сфераның ең кең нүктесінің айналасындағы қашықтықты тікелей өлшеуге болады, мысалы, рулетка көмегімен. Бұл шеңбер шеңбер болып табылады және радиустың өзі шармен бірдей.

Шеңбердің шеңбері 2 x π x радиуста есептеледі.

Айналадан радиусты есептеу үшін сіз:

Айналдыра (2 x π) бөліңіз .


Жұмыс мысалдары: Көлемді есептеу


1-мысал

Цилиндр ұзындығы 20 см, радиусы 2,5 см
Ұзындығы 20см цилиндрдің көлемін есептеп шығарыңыз, ал дөңгелек ұшы радиусы 2,5 см.

Алдымен цилиндрдің дөңгелек ұштарының біреуінің аймағын өңдеңіз.

Шеңбердің ауданы πrекі(Pi × радиусы × радиусы). π (pi) шамамен 3.14 құрайды.

Соңының ауданы:

3.14 x 2.5 x 2.5 = 19.63 смекі

The көлем соңының ауданы ұзындыққа көбейтіледі, сондықтан:

19,63 смекіx 20cm = 392.70cm3




Радиусы 2 см сфера және табаны 2,5 см, биіктігі 10 см пирамида.

2-мысал

Көлемі бойынша қайсысы үлкен, радиусы 2см шар немесе табаны 2,5 см квадрат және биіктігі 10 см пирамида?

Алдымен шардың көлемін анықтаңыз .

Шардың көлемі 4/3 × π × радиусқа тең3.

Сфераның көлемі:

4 ÷ 3 x 3.14 × 2 × 2 × 2 = 33.51 см3

Содан кейін пирамиданың көлемін жасаңыз .

Пирамиданың көлемі табанның биіктігінің 1/3 × ауданы.

Табанның ауданы = ұзындығы × ені = 2,5 см × 2,5 см = 6,25 смекі

Көлемі 1/3 x 6.25 × 10 = 20.83 см3

Демек, сфера көлемі бойынша пирамидаға қарағанда үлкен.



Қалыпты емес қатты денелердің көлемін есептеу

Біркелкі емес екі өлшемді фигуралардың ауданын оларды кәдімгі пішіндерге бөлу арқылы есептеуге болатыны сияқты, біркелкі емес қатты денелердің көлемін есептеу үшін де дәл осылай жасауға болады. Тек қатты бөлшектерге жеткенге дейін қатты бөлшектерді кішкене бөліктерге бөліңіз.


Жұмыс мысалы

Жалпы биіктігі 1м, диаметрі 40см, жоғарғы жағы жартылай сфералық су цилиндрінің көлемін есептеңіз.
Тұрақты емес қатты. Диаметрі 40 см және биіктігі 1 м дөңгелек табан. Жоғарғы бөлім жартылай сфералық.

Сіз алдымен пішінді цилиндр және жартылай шар (жарты шар) деп екі бөлікке бөлесіз.

Шардың көлемі 4/3 × π × радиусқа тең3. Бұл мысалда радиус 20 см (диаметрінің жартысы). Үстіңгі жағы сфералық болғандықтан, оның көлемі толық сфераның жартысына тең болады. Пішіннің осы бөлімінің көлемі:

0,5 × 4/3 × π × 203 = 16 755,16 см3

Цилиндр көлемі - бұл табанның ауданы × биіктік. Мұнда цилиндрдің биіктігі - шардың радиусын кемітетін жалпы биіктігі, ол 1м - 20см = 80см құрайды. Негіздің ауданы πrекі.

Бұл пішіндегі цилиндрлік қиманың көлемі:

80 × π × 20 × 20 = 100,530.96 см3

Бұл су ыдысының жалпы көлемі:
100,530.96 + 16,755.16 = 117,286.12см3.

Бұл өте үлкен сан, сондықтан сіз оны 1000-ға бөлу арқылы 117,19 литрге айналдырғанды ​​жөн көресіз (өйткені 1000 см болатындықтан)3литрде). Алайда, оны см түрінде білдіру өте дұрыс3өйткені мәселе қандай да бір нақты формада жауап беруді сұрамайды.



Қорытындысында…

Қажет болса, осы қағидаларды қолдана отырып, енді сіз өзіңіздің өміріңіздегі барлық нәрселердің көлемін есептей білуіңіз керек, бұл қорап, жәшік, бөлме немесе су цилиндрі болсын.

Жалғастыру:
Үшөлшемді пішіндер
Ауданы, беткі қабаты және көлемі туралы анықтама парағы